Klammerregeln


➥ Merk Dir

 

+ vor der Klammer:
einfach weglassen

- vor der Klammer:
alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen

  vor der Klammer:
alles in der Klammer mit der Zahl davor multiplizieren

Klammer ⋅ Klammer:
Jeder mit Jedem

Faktorisieren: 
Schmeiß alles raus, was jeder Term hat (erst Zahlen, dann Buchstaben) und lass in der Klammer stehen, was übrig bleibt.



Ausführlichere Erklärungen zu den Klammerregeln

Viele Schüler sitzen immer etwas ratlos vor Aufgaben mit Klammern, weil sie einfach nicht wissen, was sie damit machen sollen. Dann gehen wir das mal zusammen an.

 

Eine Klammer hat Priorität: Noch vor Punkt- und Strichrechnung muss sie zuerst aufgelöst werden. Und das, was direkt vor der Klammer steht, bezieht sich auf den gesamten Klammerinhalt.

Nun können verschiedene Dinge vor einer Klammer stehen, gehen wir sie nacheinander durch.

1. Ein + vor der Klammer

 

7x + (15 - 4x)

 

Das ist die leichteste Klammer. Du kannst sie einfach weglassen, da ein Plus vor der Klammer kein Befehl ist, irgendetwas zu ändern. Und falls du gerade gedacht hast, das sei sinnlos, dann hast du vollkommen Recht. So eine Plus-Klammer ist rechnerisch sinnlos. Manchmal wird sie einfach nur eingesetzt, um klarzustellen, dass etwas zusammen gehört. Rechnerisch hat das trotzdem keine Wirkung. Lösen wir sie auf, steht da:

 

7x + 15 - 4x

 

2. Ein - vor der Klammer

 

7x - (15 - 4x)

 

Ein - vor einer Klammer ist ein Befehl. Er sagt aus, dass alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden sollen. Hier stolpert man schnell über 2 Probleme:

 

1. Was steht vor der 15 in der Klammer? Da steht ja nichts, was soll man da umdrehen?

Wenn ganz am Anfang einer Rechnung oder am Anfang einer Klammer kein Zeichen steht, ist die Zahl immer positiv. Man kann sich ein + dazu denken:

7x - (+15 - 4x) -12

 

2. Was ist ein Vorzeichen?

Vorzeichen und Rechenzeichen ist manchmal ein- und dasselbe Zeichen. ABER: Vorzeichen können nur + oder - sein, niemals    oder :!

Vorzeichen sind + oder - genau VOR der Zahl. Jede Zahl hat ihr eigenes Vorzeichen und beide gehören zusammen.

Alle Zahlen-Vorzeichen der Rechnung sind rot:

 

+7x - (+15 - 4x) -12

 

Das blaue - ist auch ein Vorzeichen, aber nicht das einer Zahl, sondern das der Klammer. Und es ist ein Befehl: Ändere alle + in - und alle - in +! 

Um die Klammer aufzulösen, muss man also das hier tun:

 

7x - 15 + 4x - 12

 

Aus der + 15 wird eine -15 und aus dem -4x wird ein +4x. Gleichzeitig fallen das - vor der Klammer und die Klammer selbst weg.

 

Mit der 7x vor der Klammer passiert nichts, denn sie steht davor. Und mit der -12 nach der Klammer passiert auch nichts, denn sie steht hinter der Klammer.

 

Der Klammerbefehl gilt ausnahmslos nur für alles in der Klammer. 

 

Hier siehst du ein Video meiner Schülerinnen Anna und Tina zum Auflösen von Minusklammern. Sie haben damit den 1. Platz in unserem Mathevideo-Wettbewerb gewonnen:

 

 

3. Ein vor der Klammer

Auch hier ist es ein wenig knifflig und man muss einige Regeln kennen.

Vielleicht erinnerst du dich von weiter oben bei den Grundrechenarten, was ich dir zur Multiplikation gesagt habe? Sie fasst die Addition zusammen. Das ist hier auch der Fall, ich gebe dir ein Beispiel. Das wird jetzt etwas umfangreicher, danach kürze ich das ab:

 

4 (8x - 5)

An der Stelle machen schon viele den Fehler, zwischen die 4 und die Klammer ein + zu setzen. An dieser Stelle ist das falsch! Nur am Anfang einer Rechnung und für die erste Zahl IN einer Klammer darf gedanklich ein + gesetzt werden, wenn da nichts steht.

ZWISCHEN einer Zahl und Klammer steht IMMER ein Mal-Zeichen! So sieht die Gleichung aus, wenn ich alle Zeichen setze:

+ (+8x - 5)

Bei dieser Rechnung muss man (8x - 5) 4 mal addieren. Man kann das auch so schreiben:

 

(8x - 5)

(8x - 5) + (8x - 5) + (8x - 5) + (8x - 5) 

 

Und wenn wir hier anwenden, was oben zu den Plus-Klammern steht, kann man sie einfach weglassen. Dann sieht es so aus:

 

8x - 5 + 8x - 5 + 8x - 5 + 8x - 5

 

Jetzt steht da also 4 mal 8x und 4 mal -5. Es wird also alles, was in der Klammer steht, mal 4 genommen. So geht es kurz:

(8x - 5)

= 4  8x - 4  5

= 32x - 20

 

4. Klammer ⋅ Klammer

Wenn 2 Klammern einfach nebeneinander stehen, dann muss man alle Zahlen, Buchstaben und Vorzeichen der einen Klammer mit allen Zahlen, Buchstaben und Vorzeichen der anderen Klammer multiplizieren. Klingt etwas kompliziert, ist es aber nicht. Die Regel heißt kurz: Jeder mit Jedem. Ein Beispiel macht es wieder deutlich:

 



Die einfachste Vorgehensweise ist, wenn du es immer auf die gleiche Art berechnest:

  1. Vorzeichen multiplizieren (siehe unten) und hinschreiben
  2. Zahlen multiplizieren (ohne die Vorzeichen, die hast du ja schon) - Ergebnis hinter das Rechenzeichen
  3. Buchstaben multiplizieren (siehe unten)

Faktorisieren

Genau umgedreht geht das Faktorisieren ("Ausklammern"). Faktorisieren bedeutet, dass man eine Klammer einfügt, wo vorher keine war.

Man nutzt das vor allem, um in Brüchen wegkürzen zu können, was zu viel ist - vor allem, wenn man eigentlich nicht kürzen darf, weil im Zähler/Nenner Additionen oder Subtraktionen stehen.

In der Prüfung heißt die Aufgabe dann meist nur
"Vereinfachen Sie soweit wie möglich!"
oder so ähnlich.

Ich zeige dir ein Beispiel mit Kommentaren, was wann gemacht werden muss:

Noch einmal kurz, wie man am besten vorgeht:

  1. Zahlen ansehen und schauen, ob eine Zahl in allen steckt
    → diese Zahl kommt vor die Klammer
  2. Buchstaben ansehen, ob es einen oder mehrere gibt, die überall drin sind
    → die kommen auch vor die Klammer
  3. Kürzen, falls möglich
    (im Bruch, bei einfachen Termen ohne Bruchstrich natürlich nicht).

Ich zeige dir ein Beispiel ohne Bruch: