Rechnen mit Variablen (Buchstaben)
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Gleiche Variable in einer Gleichung: gleiche Zahl
Ungleiche Variablen in einer Gleichung: unterschiedliche Zahlen
Rechnen mit Variablen (Buchstaben)
Variablen heißen die Buchstaben in Rechnungen. Sie sind Platzhalter für (noch) unbekannte Zahlen. Man braucht sie, wenn man eine Rechnung aufstellen muss und eine oder mehrere Zahlen nicht kennt.
Jeder Buchstabe des Alphabets (lateinisch oder griechisch) außer den Umlauten und ß ist einsetzbar.
Lateinische Buchstaben (a bis z) werden in der Mathematik bis Klasse 10 als Variablen in Gleichungen und die griechischen Buchstaben (α bis ω) für Winkel genutzt.
In der Physik sind Buchstaben häufig Formelzeichen für bestimmte Phänomene, wie Kraft, Energie, Strahlung usw. Die Chemie wiederum hat ihre eigene Formelwelt, die vor allem durch die Kurzbezeichnungen der Elemente gestaltet wird.
Man kann Variablen meist wie Zahlen behandeln. Für sie gibt es Regeln wie für andere Rechnungen auch.
Die wichtigste Regel zuerst:
Gleiche Variablen in einer Rechnung stehen IMMER für dieselbe Zahl.
Unterschiedliche Zahlen in einer Rechnung erhalten IMMER unterschiedliche Variablen.
Aus dieser Regel ergibt sich, dass man unterschiedliche Buchstaben NICHT verrechnen darf.
Addition & Subtraktion von Variablen
Gleiche Variablen kann man zusammenzählen oder voneinander abziehen:
5x + 3x = 8x
5x - 3x = 2x
Mit unterschiedlichen Variablen geht das nicht:
5x + 3y = 5x + 3y
Multiplikation von Variablen
Variablen kann man multiplizieren - und zwar sowohl gleiche als auch unterschiedliche Variablen:
x ⋅ y = xy
Diese Schreibweise ist wichtig zu verstehen:
Zwischen 2 Variablen steht ein Malzeichen, wenn nichts dazwischen steht!
Das gilt auch für Zahlen und Variablen, die zusammenstehen:
2 ⋅ x + 3 ⋅ y + 15 ⋅ a = 2x + 3y + 15a
Eine einfache Variante der Multiplikation von Variablen mit Zahlen ist diese:
2x ⋅ 5y = 10xy
Eigentlich wurde hier nur umsortiert, denn zwischen allen beteiligten Termen stehen Malzeichen. Das Assoziativgesetz erlaubt das.
Du darfst also bei reinen Multiplikationsaufgaben alle Zahlen miteinander und alle Variablen miteinander verrechnen. Die Zahlen kannst du tatsächlich verrechnen, bei den variablen schreibst du sie zusammen.
Doch was ist, wenn man gleiche Variablen mit und ohne Potenzen verrechnen soll?
Das ist auch einfach, dann ändert sich die Potenz nach dem 1. Potenzgesetz.
4x ⋅ 5x = 20x2
6y2 ⋅ 3y3 = 18y5
In vielen Gleichungen tauchen mehrere Variablen auf. Hier sortiert man alle zusammen:
2x2 ⋅ y2 ⋅ 4x ⋅ 3y3 = 24x3y5
Es wird dir helfen, wenn du einen Blick dafür entwickelst, welche Teile einer Gleichung zusammengehören.
Division von Variablen (Brüche mit Variablen)
Erinnere dich: Brüche sind Divisionsaufgaben. Es spielt überhaupt keine Rolle, wie man das aufschreibt:
5 : 9 = 5/9
Das gilt für alle Brüche, auch für so etwas kompliziertes:
Das kann auch so geschrieben werden:
(31x ⋅ 2x2 + 25y) : (8x2 - 22y ⋅ 2)
Wichtig ist hier, dass man Zähler und Nenner in Klammern setzt, da man ja den gesamten Zähler durch den gesamten Nenner teilen muss.