Trigonometrie

Worum geht's hier überhaupt? Ganz einfach, wenn man es aus dem Griechischen übersetzt:

Tri = drei

gonia = Ecke

metron = Maß

Zusammengesetzt: Messung von Dreiecken :-)

 

In der Schule lernen wir vor allem die Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. Damit will ich dann auch beginnen. Für die MSA-Prüfung ist auch das beliebige Dreieck noch wichtig, denn es gibt meist mindestens eine Aufgabe dazu.

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit 3 Ecken und 3 Strecken im zweidimensionalen Raum. Zweidimensional kennst Du aus dem Kino oder vom TV: Alles, was Du nicht als 3D siehst und keine besondere Brille für eine Tiefenwahrnehmung braucht, ist zweidimensional. Ein Dreieck hat also nur eine Breite und eine Höhe, aber keine Tiefe. Es ist platt.

 

Hier siehst Du die beiden wichtige Arten von Dreiecken, deren Berechnung ich Dir hier zeigen will:

Generelles zum Dreieck

Diese Fakten musst du lernen und im Kopf haben, sonst kannst du nicht rechnen und wirst immer durcheinander kommen:

  1. Alle Winkel in einem Dreieck betragen zusammen 180°. 
    Mathematisch ausgedrückt: Die Innenwinkelsumme ist 180°.
  2. Der Umfang ist die Gesamtstrecke aller 3 Seiten zusammen.
    Wenn du das Dreieck an einer Ecke aufschneidest und alle Seiten auseinander nimmst, hast du die Gesamt-Strecke.
  3. Ein Dreieck wird auf eine bestimmte Art und Weise beschriftet.
    VORSICHT: Dabei kann man die Buchstaben anders platzieren als sie in Matheaufgaben immer platziert sind. Deshalb: Klebe nicht an den Formeln, sondern nutze den grundsätzlichen Aufbau. Wenn du genau weißt, was eine solche Formel tatsächlich aussagt, wenn du sie also verstanden hast, kann dir bei Trigonometrie-Aufgaben auch nichts passieren.
    Hier zeige ich Dir, was dabei zu beachten ist und welche Beschriftung korrekt ist
    :

Das rechtwinklige Dreieck

Aufbau eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt EINEN RECHTEN WINKEL.

Ein rechter Winkel ist ein Winkel von genau 90°. Ist der Winkel 91° oder 89° groß, ist es kein rechter Winkel mehr. Er muss also ganz genau 90° betragen. So ein Winkel kommt man nur zustande, wenn 2 Seiten genau aufeinander stehen. Gekennzeichnet wird er durch diesen Viertelkreis mit Punkt. Ein Viertelkreis hat genau diese 90° (ein Halbkreis dann 180° und ein Vollkreis 360°).

Immer, wenn du einen solchen Viertelkreis mit Punkt siehst im Dreieck, ist das ein 90°-Winkel.

Beschriftungen am Dreieck

  • Ein Dreieck wird zuerst an den Ecken mit Großbuchstaben versehen. Sie folgen meist im Alphabet aufeinander, wie A,B,C oder X,Y,Z. Müssen Sie aber nicht. Ich kann auch F,K,Q dranschreiben - sie müssen aber im Alphabet nacheinander kommen. Denn: Ich bezeichne sie entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Gegenüber von jeder Ecke liegt genau eine Seite. Sie bekommt den kleinen Buchstaben der Ecke.
    Also liegt gegenüber der Ecke A immer die Seite a, gegenüber der Ecke B immer die Seite b usw.
  • Die Winkel werden stets aus 2 Seiten gebildet. Und sie liegen immer an einer Ecke. Sie bekommen den griechischen Buchstaben der Ecke.
    An der Ecke A liegt der Winkel α (alpha), an der Ecke B der Winkel β (beta), an der Ecke C der Winkel γ (gamma) usw.

Benennung der Seiten im rechtwinkligen Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck (und nur da!!!) haben die Seiten Extra-Namen:

  • gegenüber dem rechten Winkel liegt die Hypotenuse.
  • die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

In der Schule gibt es dann noch die Ankathete und Gegenkathete.

Kümmern wir uns mal darum.

Ankathete und Gegenkathete

Die beiden Katheten können noch näher bezeichnet werden. Das ist auch wichtig, da du garantiert den Sinus, Cosinus und Tangens in der Prüfung brauchst.

Wenn du wissen willst, was es damit auf sich hat, sieh dir dieses Video an.

Für die Prüfung musst du lediglich wissen, wie du diese beiden bestimmen kannst, um sie dann richtig einzusetzen.

Wichtig ist: beide Namen können für beide Katheten in ein- und derselben Rechnung korrekt sein. Ich denke, das ist genau das Verwirrende daran.

Aber die Lösung ist leicht: Es liegt nämlich daran, welchen Winkel man gerade ansieht.

Jeder der beiden Winkel zwischen einer Kathete und der Hypotenuse, also im Bild oben α und β, hat jeweils eine An- und eine Gegenkathete. Der rechte Winkel nicht, der hat seine Hypotenuse gegenüber und gut ist. Es geht also um die anderen beiden Winkel.

Eine Ankathete liegt am Winkel direkt dran, das ist die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse diesen Winkel überhaupt erst macht. Schau, hier siehst du, was ich meine:

Blick von α

Beide Katheten können Ankatheten und beide Gegenkatheten sein. Es ist also wichtig, von welchem Winkel aus man guckt.

Stell dir vor, du sitzt auf dem Platz des Winkels α und guckst rein in das Dreieck. Dann sitzt rechts neben dir die Hypotenuse. Und links von dir deine Ankathete. 

Gegenüber siehst du auf deine Gegenkathete.

Blick von β

Schaust du vom Winkel β aus in das Dreieck, sind natürlich An- und Gegenkathete vertauscht.

Es ist einfach, sich das vorzustellen und dann hast du auch keine Probleme mit dem Bestimmen, was deine An- und was deine Gegenkathete ist. Hock dich gedanklich in den Winkel rein und guck, wo dein Blick hinfällt, wenn du geradeaus schaust. Das ist eben deine Gegenkathete. Da spielt es übrigens auch keine Rolle, wie der Winkel heißt.

 

Die Benennung der Seiten und Winkel ist aber wichtig, nämlich für das richtige Einsetzen in die Formeln.

Schauen wir uns das näher an.


Übertragen auf Formeln aus der Formelsammlung

Formeln haben Buchstaben als Platzhalter, die man in konkreten Aufgaben gegen Zahlen austauscht. Man nennt das allgemein "Einsetzen". Das Problem dabei ist, dass im Unterricht oft ein- und dieselbe Beschriftung gewählt wird, was sich einprägt. Und wenn die Beschriftung (in der Prüfung etwa) dann anders angeordnet wird, aber mit denselben Buchstaben (meist a, b, c), die man auch in der Formel wiederfindet, freut sich der Prüfling erst einmal ein Loch in den Bauch - und setzt trotzdem alles falsch ein.

Und das war's dann mit der Prüfungsaufgabe. Der Schüler versteht die Welt nicht mehr und es festigt sich in seinem Kopf "Ich bin schlecht in Mathe". Dabei ist das großer Quatsch und braucht bloß ein paar Informationen mehr, damit das nicht passiert. Mitdenken ist wichtig, genau hingucken auch. 

Das Falsche passiert, wenn man noch nicht begriffen hat, worauf es ankommt. 

Damit du das begreifst, schau dir zunächst die vier Abbildungen von Dreiecken an, so oder so ähnlich kommen sie in Prüfungsaufgaben vor:

Das sind 4 identische, rechtwinklige Dreiecke - identisch meint hier, die Winkel sind alle gleich groß und die Seiten auch.

Aber sie heißen unterschiedlich. Ändert der Name etwas an der Länge oder Winkelgröße? Nein, natürlich nicht. 

 

Das ist ein wenig wie bei uns Menschen, nicht der Name macht uns lang oder breit, sondern unsere Gene und was wir essen und wie viel wir uns bewegen. Unser Name hat nichts damit zu tun. Hier ist es genauso.

Ich will mal eine Verbindung herstellen: Wenn du deine Freundin mit dem Namen deiner Ex-Freundin bezeichnest, was passiert dann? Nichts Gutes jedenfalls, oder?

 

Hier in der Mathematik auch nicht. Gib in die Formeln die korrekten Namen ein, sonst passiert auch hier nichts Gutes! Die Namen sind hier nur eben keine ganzen Namen, sondern einzelne Buchstaben. Reicht aus und ist viel kürzer.

 

Nehmen wir uns ein ganz einfaches Beispiel vor: Du hast 2 Seiten gegeben. Diese beiden Seitenlängen stehen entweder in der Aufgabe oder du hast eine davon vorher berechnet. Egal wie, du sollst die 3. Seite berechnen.

In der Formelsammlung hast du die Wahl zwischen 2 Dreiecken:

Das erste, was du machen musst, ist, an der richtigen Stelle zu suchen. Du hast es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun. Hier passieren schon die ersten Fehler. Schüler, die es nicht verstanden haben, gucken auch oft in der falschen Rubrik.

 

Du erkennst ein rechtwinkliges Dreieck an:

  • dem Viertelkreis mit Punkt, wie oben in Abbildung 4 
    ODER
  • an der Angabe, dass ein Winkel 90° hat 
    ODER
  • steht direkt "rechtwinkliges Dreieck" in der Aufgabe.

Du brauchst dann also die Rubrik "Rechtwinkliges Dreieck".

Alle Buchstaben in allen Formeln, die hier stehen, beziehen sich exakt auf die Benennung des Dreiecks, wie es rechts im Bild steht. 

In den Prüfungen hast du selten die gleiche Benennung.

Deshalb musst du im ersten Schritt die Formel, die du brauchst, so aufschreiben, wie es dem Dreieck in der Prüfungsabbildung entspricht.

Warum sie das so machen? Ganz einfach: Um zu testen, ob du genau das verstanden hast!

Mal angenommen, die Abbildung in der Prüfung sieht so aus.

Die Frage ist nun: Wie musst du deinen Pythagoras richtig aufstellen?

Zunächst einmal: Was steht eigentlich drin im Pythagoras?

Der sagt, dass die Seite gegenüber dem rechten Winkel, die Hypotenuse, allein steht. In der Formelsammlung heißt diese Seite "c", die anderen beiden, die man addieren soll, heißen in der Formelsammlung "a" und "b":

c2 = a2 + b2

 

Heißt die Seite hier in diesem Dreieck auch so?

Nein, sie heißt "b". Und die anderen beiden heißen "a" und "c".

Deine Formel ändert sich also:

b2 = a2 + c2

Und wenn es ganz andere Buchstaben sind??? 

Ohje, ich höre schon die Panik in deinen Gedanken... Warum denn? Es sind nur Namen!

 

Irgendwo im Text steht, dass φ 90° hat oder das Dreieck rechtwinklig ist.

 

Also suchst du die Seite, die gegenüber vom rechten Winkel  φ liegt, die steht allein. Das wäre dann "f". Die anderen beiden Seiten heißen "n" und "l".

 

Deine Formel sieht dann so aus:


 

STOP! Erst selbst überlegen, dann am Pfeil vorn die Lösung aufklappen und vergleichen!

Bist du dir sicher, dass du das wirklich aufgeschrieben hast? Oder schummelst du und machst es dir einfach?

Sicher?

Na gut, dann vergleiche...

Lösung

f2 = l2 + n2

 


Und? Stimmt's?

Falls nicht: Lies nochmal die Erklärungen.

Nicht verstanden? Wo hakt es? Schreib es mir auf. Ich will dir helfen und sicher sind deine Fragen ja berechtigt und ich habe Erklärungen vergessen. Passiert leicht, wenn man das gut kann. Man weiß dann oft nicht, warum andere es nicht können.

Falls ja: Gratuliere!

Im nächsten Schritt musst du nur noch die Zahlen einsetzen, falls du die Hypotenuse berechnen sollst.

Wenn du eine der Seiten berechnen sollst, ist noch die Umstellung deiner Gleichung nötig. Du kannst aber vorher schon die Zahlen einsetzen, was du berechnen sollst, bleibt als Buchstabe da stehen.

Genauso läuft das bei den Winkeln, es ist vollkommen egal, wie sie heißen. Schau, wie die Winkel in deinem Dreieck heißen und ändere, falls nötig, die Buchstaben in den Formeln für die Berechnung der Winkel und Seiten, so dass es zu deinem Dreieck passt.


Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck - Erklärungen mit Übungen

Es gibt nun meist in den Prüfungen viele Möglichkeiten, aus den Angaben im Text die gewünschten Seiten und Winkel zu berechnen. Die guten Nachrichten sind: Hast du einmal kapiert, worauf es dabei ankommt, sind die Rechnungen selbst ein Spaziergang. Dabei will ich dir helfen.

Denk immer daran, dass du die Buchstaben zuerst anpassen musst in den Formeln. Das muss dein erster Schritt sein!!!

 

Beginnen wir mit einer Trigonometrie-Aufgabe aus 2012 und konzentrieren uns zuerst auf das rechtwinklige Dreieck. Schritt für Schritt holen wir uns die 7 Punkte.

Teilaufgabe 3 aus der Matheprüfung 2012 Berlin-Brandenburg
Teilaufgabe 3 aus der Matheprüfung 2012 Berlin-Brandenburg

Das ist die gesamte Aufgabe.

In Teilaufgabe a) soll eine Strecke berechnet werden.

Sieht man sich alles auf einmal an, ist das verwirrend. Man sollte daher im ersten Schritt schauen, welche Strecke sie haben wollen, dann zu welcher Art Dreieck die gehört und sich erst einmal voll und ganz auf dieses eine Dreieck konzentrieren. 

Blende alles andere aus, das ist für die Teilaufgabe a) erstmal nicht wichtig. Darauf fokussieren wir später!

Die Strecke AD meint: der Abstand zwischen den Punkten A und D. Die soll berechnet werden.

Wichtig: Erkenne den rechten Winkel. Und schaue ab jetzt nur in das Kästchen "Rechtwinkliges Dreieck" deiner Formelsammlung. Zur Orientierung habe ich das mit in das Bild integriert.

Nächste Frage, die sich stellt, ist: Was habe ich? Was kann ich nutzen, um die Aufgabe zu erfüllen. Das habe ich mal zum besseren Verständnis lila umkreist:

wir haben an diesem Dreieck 2 Angaben:

1. Winkel 28° (und einen rechten Winkel von 90°, aber den braucht man nur, wenn man den 3. Winkel auszurechnen; das ist hier nicht verlangt)

2. Strecke 60m.

Soweit so gut.

Ausgehend vom Winkel 28° ist die gesuchte Strecke die Gegenkathete. Die 60m sind die Ankathete.

Jetzt Blick in die Formelsammlung: Stehen in irgendeiner Formel Gegenkathete, Ankathete und der Winkel? 

Ja! Der Tangens. Perfekt.

Und der geht so (Werte sind gleich eingesetzt):

Dummerweise muss ich den umstellen, weil meine gesuchte Strecke nicht vorn steht. So kann ich das nicht ausrechnen:

Und schon kann ich das in meinen Taschenrechner eingeben und habe die Strecke AD.

AD = 31,9 m

In der Aufgabe steht, man solle auf ganze Meter runden. Ok...

AD ≈ 32m

Und weil wir nett sind, formulieren wir einen Antwortsatz:

Die Länge der Straßenfront AD beträgt ca. 32m.

 

2 Punkte. Check!  Ehrlich: Das Erklären dauert 1000 Mal länger als die Aufgabe. 

 

Aufgabe b ist dann ein Kinderspiel. Hier würde ich den Pythagoras empfehlen: Ich soll AC berechnen, das ist die Hypotenuse, weil die Strecke gegenüber dem rechten Winkel liegt.

Der Pythagoras geht so (der Einfachheit halber lasse ich die Einheiten weg, im Antwortsatz tauchen sie dann wieder auf):

 

AC2 = 602 + 31,92

AC2 = 4617,61m2

 

Ich will aber keinen Flächeninhalt haben (erkennbar am Quadrat), sondern eine Strecke.

Das Quadrat muss weg. Also muss ich die Wurzel ziehen:

√ 4624m2 = 67,95m ≈ 68m

 

Und auch hier sind wir nett und schreiben einen Antwortsatz:

Die Länge der Grundstücksgrenze AC beträgt ca. 68m.

 

Und diese beiden Punkte gehören nun auch uns! Juhu! Und sooo einfach...

 

In Aufgabe c geht es um das Grundstück von Müller. 


Rätsel zum Thema - Teste Dein Mathewissen!

Quiz zur Trigonometrie - Faktenwissen