Proportionalität

beschreibt zunächst, dass 2 oder mehr Größen voneinander abhängen. Passiert etwas mit der einen Größe, passiert auch etwas mit der bzw. den  anderen.

Schauen wir uns 2 Größen an und nennen wir diese Größen einfach A und B. 


Direkte Proportionalität

Bei der direkten Proportionalität hängen die A und B gleichartig voneinander ab, heißt: Wenn Größe A steigt, steigt auch B proportional, das bedeutet: in gleichem Umfang. Wenn Größe A fällt, fällt auch Größe B proportional.

Und umgekehrt: Wenn Größe B steigt, steigt auch A proportional und wenn B fällt, fällt auch A.

Wenn ich A durch B teile, kommt bei der direkten Proportionalität immer dasselbe Ergebnis heraus, weil der Umfang des Anstiegs oder Falls bei beiden derselbe ist. Dieses Verhältnis beider Größen nennt man den Proportionalitätsfaktor. Den kann man ausrechnen und damit genau vorhersagen, um wie viel sich A ändert, wenn sich B um einen bestimmten Betrag ändert und umgekehrt. Das ist sehr nützlich und instinktiv machen wir das auch. Ich will dir ein Beispiel nennen:

 

Angenommen, du lädst 10 Gäste (A) ein (und es ist keine Corona-Lockdown-Zeit). Du nimmst dir vor, zum Kaffee 3 Kuchen (B) zu backen. Diese beiden Kuchen sind Erfolgsrezepte deiner Oma und jeder liebt sie. Du weißt, dass du die Gäste beeindrucken kannst. Nun rufen dich aber nach und nach eingeladene Gäste an und möchten gern ihre Partner mitbringen. Aus den 10 Gästen sind 20 geworden und 3 Kuchen reichen nicht. Du backst also doppelt so viele Kuchen, weil doppelt so viele Gäste kommen, oder? Siehst du, du hast vollkommen richtig allein die direkte Proportionalität angewendet.

Mathematisch ausgedrückt: Hier ist dein Proportionalitätsfaktor 2. Er steht für die Verdopplung:

2 · 10 Gäste = 2 · 3 Kuchen - das heißt: für 20 Gäste müssen 6 Kuchen gebacken werden.

 

Die direkte Proportionalität kann immer mit dem Dreisatz gelöst werden. Wenn ich also weiß, dass Größen direkt zusammenhängen und gleichzeitig steigen oder fallen, dann kann ich den Dreisatz benutzen - das gilt für Prozentrechnungen, direkte Proportionalität, Geschwindigkeits-Zeit-Beziehungen, Umrechnungen von Maßeinheiten oder nahezu alle geometrischen Berechnungen einschließlich Maßstabsumrechnungen.

 

Die Berechnung ist leicht. Das Aufstellen der Beziehungen ist oft die Schwierigkeit.

Man muss das üben, um seinen Blick dafür zu schulen.


Beispielaufgaben zur direkten Proportionalität

Einfache Aufgaben

1. Löse folgende Tabelle korrekt, indem du die Lücken füllst:

Größe A

2

4

6

8

10

12

14

16

Größe B

4

8

 

 

20

 

 

 

 

Hast du erkannt, wie A und B miteinander verbunden sind?

Richtig, B ist immer das Doppelte von A:

Die Lösung ist also:

Größe A

2

4

6

8

10

12

14

16

Größe B

4

8

12

16

20

24

28

32

 

2. Berechne, wie viel 1 Einheit jeweils kostet!

17 kg Kartoffeln kosten 42,50€ - Was kosten sie pro kg?

Teile die Gesamtsumme durch die Kilos Kartoffeln:

42,50€ : 17 kg = 2,50€ pro kg

Das ist direkt proportional - alles, was ich kaufe, muss ich je nach der Menge bezahlen, die ich kaufen will. 


Indirekte Proportionalität

Bei der indirekten Proportionalität (die nennen manche auch Antiproportionalität) hängen A und B auch gleichartig voneinander ab, aber in umgekehrter Weise. Heißt: Wenn Größe A steigt, fällt B in gleichem Umfang. Wenn Größe A fällt, steigt Größe B.

Und umgekehrt: Wenn Größe B steigt, fällt A und wenn B fällt, steigt A.

 

Hier ist es für manche nicht ganz so nachvollziehbar, wie man das berechnen kann wie bei der proportionalen, direkten Zuordnung.